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数学建模在医药卫生领域中的运用

时间:2015-10-14 来源:未知 作者:小韩 本文字数:2069字

  一、数学模型及建立数学模型的步骤

  ( 一) 数学模型

  正如马克思所说的,“一门科学,只有当它成功地运用数学时,才能达到真正完善的地步。”近几十年以来,伴随学科建设尤其是电子计算机技术的不断发展,数学不仅运用于物理和工程技术等自然科学领域,而且在诸如经济、环境、人口、医学等社会生活领域也得到广泛的应用。在众多的数学方法中,数学建模方法是解决日常生活中实际问题的一般数学方法。

  数学模型是指按照或依据某种事物内在的主要特征或数量相互依存关系,运用抽象化和概念化的语言,近似地概括或表达出来的一种数学结构[1].

  ( 二) 建立数学模型的步骤

  第一步: 对实际生活中遇到的问题要有充分了解并做出缜密的分析,考察问题的基本情形,获取最原始的资料;第二步: 依据问题的主要特征和相互关系,简化和抽象化研究问题并用精确的数学语言做出假设;第三步: 针对上一步做出的假设,选取适当的数学工具、数学方法、数学符号来表示变量之间的数量关系;第四步: 求出所建模型的所有可能解,并将求得的解与实际情形进行比较,进一步验证所建模型的精确度;第五步: 若所建模型与符合或与实际问题相近,则要对计算结果做出实际含义的解释[2].

  二、数学建模在医药卫生领域中的研究与应用

  本文对数学模型在医药卫生领域的研究与运用,主要探究用于疾病流行探测的回归模型、灰色模型这两种数学模型,并通过实例来探究数学建模在医药卫生领域中的应用,对疫情的监控和预测分析提供了一个新的研究视角。

  ( 一) 回归模型。Logistic 回归模型: 对于繁殖、生长发育、剂量反应率等方面的研究,由于这些研究对象随着时间的变化呈现 S型曲线变动,因此可以进行 Logistic 曲线拟合,并用得到的拟合方程作为定量分析关系式。此外,在有关流行病学研究案例中,对于致病的相对危险度、存活分析都可使用 Logistic 回归模型。

  ( 二) 灰色模型。灰色模型是用时间数据序列建立系统的动态模型[3].基本原理是: 首先把一组随机的、离散型数据行列通过m 次累加形成规律性较强的序列。其次,对累加生成列建模,并进行m 次累减来还原成预测值。一般情况下,取 m =1 作一次累加生成列建模。它与多变量多阶预测模型和其它预测方法相比,有着计算方法简单,预测效果好,且对样本含量和概率分布没有严格要求的特点等优点。

  ( 三) 实例分析。假定传染是通过一个群体内成员间的接触而传播,感染者不因死亡、痊愈或隔离而被移除,则所有的易感者最终都将转变为感染者。这种假定可近似地适用于下述情况: 疾病有高度的传染力,但尚未严重到发生死亡或需要隔离的程度。

  1. 模型假设。①在时间 t 时的易感人数和感染人数分别为 S 和I; ②群体是封闭性的,总人数为 N,在这 N 个人中开始时只有一个感染者; ③该群体中各成员之间接触是均匀的,易感者转为感染者的变化率与当时的易感人数和感染人数的乘积成正比。

  2. 模型建立与求解。根据上述假设,可建立如下数学模型:

  dS / dt = - βSI, ( 1)
  
  S + I = N, ( 2)
  
  初始条件是 I ( 0) =1,比例系数 β 称为感染率。

  将式 ( 2) 代入 ( 1) 式,得:
  
  dS / dt = - βS ( N - S) ( 3)
  
  分离变量后再两边积分,得:

  1 / Nln [S / ( N - S) ] = - βt + C ( 4)
  
  其中 C 为积分常数。将初始条件 I ( 0) = 1,代入上式 ( 4) ,可得 C = ln ( N -1)/ N,代入 ( 4) 式即得: 1 / Nln [S / ( N - S) ] = - βt + ln ( N- 1) / N整理后得易感人数随时间变化的动态关系式:S = N ( N - 1) / ( N - 1) +
  
  三、数学建模在医药卫生领域研究与应用应注意的问题

  ( 一) 严谨分析问题,提出合理假设。通过数学建模来解决医药卫生领域中遇到的问题时,严谨的分析问题是解决问题的第一步,缺少对问题的严谨分析很难构建拟合优度精确的数学模型。因此,在实际医药卫生工作中应该对现实对象进行严谨的分析,并依据问题的主要特征和相互关系,简化和抽象化研究问题,在此基础上,用精确的数学语言、数学工具和方法做出假设,通过演绎推理、分析、求解,深化对所研究的实际对象的认识。

  ( 二) 合理设定模型,注意模型检验。在医药卫生领域,数学模型的建立不同于解决纯粹的数学问题,虽然不像数学问题那样要求标准答案,但要想真正解决实际问题,同样必须给与足够的重视,合理构建模型。设定的模型必须符合或近似地反映实际问题中的相互关系和规律。此外,检验模型的拟合优度,通常做法是将求得所建模型的所有可能解与实际情形进行比较,验证所建模型的精确度。

  三、结束语

  数学建模在医药卫生领域的研究和应用为医药卫生工作的发展提供了重大的帮助,有利于医药卫生事业的未来发展向着更加科学化的方向迈进。尽管数学建模在实际应用中存在着较大的缺陷,但随着科学技术的进步以及计算机应用的广度和深度不断拓展,数学建模在医药卫生领域必将实现卓越的成就。

  参考文献:

  [1] 杨建新。 数学建模方法之我见 [J]. 甘肃教育,2012( 2) : 79.
  [2] 张秋生,吉玲峰。 基于数形结合的数学建模研究 [J],时代教育,2012 ( 9) : 125
  [3] 王体标,苏丽宣。 优化军校医疗服务的数学模型 [J]. 中国教育技术装备,2010 ( 24) : 31 -32.

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