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函数思想在高中数学解题中的运用分析

时间:2019-04-16 来源:成才之路 作者:于正明 本文字数:2008字

  摘    要: 在高中数学中函数思想非常重要, 其本质就是按照数学问题具有的特征构建相应数学模型, 进而给学生解题提供一种新型方法。文章从借函数思想对不等式有关问题进行解答、借函数思想对数列问题进行解答、借函数思想对实际优化方面问题进行解答、借函数思想对方程问题进行解答四方面, 探讨高中数学解题中如何应用函数思想。

  关键词: 函数思想; 高中数学; 解题; 逻辑思维;

  数学思想除了能够给教师教学提供帮助之外, 还能对学生的学习起到促进作用。高中生学习数学知识时, 数学思想是其把数学知识内化成数学能力的重要桥梁。所以, 数学教师要在数学解题中应用函数思想, 促使学生逐渐养成良好的思维能力。本文对高中数学解题中应用函数思想进行探讨。

  一、借函数思想对不等式有关问题进行解答

  在高中时期, 学生借函数思想对不等式有关问题进行解答, 能够降低解题难度。而且学生借助函数思想, 可以对根具体分布区间进行直观表示, 既可以节省很多计算时间, 又能提高解题的准确率。例如, 如果不等式可以满足m∈[0, 4]时, x2+mx+3>4x+m恒成立, 则求x取值范围。针对这一问题, 假设学生在实际解题期间把不等式进行移项处理, 之后把x值求出来, 便很容易陷入到死循环中, 而且这种解题思路还会让问题变得更加烦琐和复杂。所以, 此时可借助函数思想进行求解。具体解题期间, 可借函数思想对二次方程根的实际分布问题进行解决, 进而将问题转化成C= (x-1) m+ (x2-4x+3) >0。如此一来, 原不等式变成一个以m为自变量, 同时在m∈[0, 4]的函数。而且, 因为该函数连续, 所以只要确保在此区间之上两端都大于0即可。因此, 此时可以求得x具体取值范围是x∈ (-∞, -1) ∪ (3, +∞) , 进而降低了解题难度。由此可见, 对不等式有关问题进行求解, 函数思想可以起到关键作用。

  二、借函数思想对数列问题进行解答

  在高中数学内容中, 数列问题属于一个常见问题。因为在数列当中, 每个数字都是数列中的一个项, 因此在解答数列问题时, 便可对函数思想加以运用, 把数列当中每个项都看成关于项数的一个函数。针对函数思想而言, 其本质意义就是对变化以及变化规律进行研究, 而数列是用来对数量具体分布特征进行研究。所以, 二者存在一些相似以及相近之处。在对数列问题进行解答期间, 可画出数列具体分布曲线, 如此一来便可以按照曲线图对数列进行直观求解。而在借助函数思想对数列问题进行求解期间, 需要注意一些事项, 即函数乃是连续的, 但数列仅是若干整数点位构成的, 所以数列拥有离散性这一特征。

函数思想在高中数学解题中的运用分析

  因此, 在借助函数思想解答数列问题时, 学生需要掌握数列具有的数字特征和具体变化规律。而在学生对这些特征以及规律掌握之后, 还需要进行对比分析, 对比函数间的相同点以及不同点, 进而保证解答数列问题的准确率以及效率。

  三、借函数思想对实际优化方面问题进行解答

  在高中数学教材中, 实际优化方面问题的应用非常广泛, 不仅包含计算应用, 同时还包含数值换算等问题。而在以上实际优化有关问题中, 都可对函数思想加以运用。借助函数思想来对实际优化有关问题进行运用, 可以简化解题步骤。而且, 除了数学教材中包含一些优化问题之外, 现实生活中也包含很多优化问题。例如, 采购问题、生产成本以及路程里程的计算等。在高中阶段的数学内容中, 以上问题全都存在着一个或很多变量, 而且这些问题普遍比较抽象, 尽管属于实际优化有关问题, 但多数都和现实并不相符。针对以上问题, 借助函数思想这种计算形式可以给学生提供一个直观清晰的计算理念, 准确找到问题中的因变量以及自变量间的具体关系, 进而使问题得以快速解决。

  四、借函数思想对方程问题进行解答

  在数学内容中, 函数与方程存在着紧密的联系。因此, 在解答方程有关问题时, 学生可对函数思想加以运用。这样不仅能够降低实际解题难度, 同时还能提高学生的解题效率和准确率。

  例如:解方程 (x2-x+1) 5-x5+4x2-8x+4=0。

  分析:通过审题能够发现, 这道题要解答的是一个五次方程, 这在高中数学中是十分少见的, 通过相应变形以后, 可借助函数性质进行解决, 进而降低实际解题难度。

  解:对原方程进行变形, 即: (x2-x+1) 5+4 (x2-x+1) =x5+4x, 因为函数f (t) =t5+4t在实数域上是单调递增的, 又因为f (x2-x+1) =f (x) , 所以有x2-x+1=x, 即x=1。因此, 原方程存在唯一的一个实数解:x=1。

  上题属于高中时期难以解答的一个高阶方程, 然而借助函数思想, 对单调函数进行巧妙构建, 之后借助单调函数函数值和自变量间的一一对应关系, 就可以对问题进行求解。

  综上所述, 高中数学问题复杂多变, 而学生借助函数思想可以快速理清解题思路, 解答问题。同时, 针对高中数学中的方程、不等式、数列以及实际优化方面问题, 全都可以借助函数思想进行解答, 既简化了解题步骤, 又提升了学生的整体解题效率和准确率。

  参考文献:

  [1]席春.高中数学函数思想探究及应用[J].吉林教育, 2012 (23) .
  [2]胡慧芳.谈新课标下函数思想在中学数学中的应用[J].成才之路, 2011 (09) .
  [3]董海瑞.函数思想在数学分析中的应用[J].太原教育学院学报, 2005 (04) .

    于正明.高中数学解题中应用函数思想探研[J].成才之路,2019(09):25.
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